Ensembles finis Exemples

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(25 x^{3} + 75 x^{2}) - 36 x - 108 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$25 x^{2} (x + 3) - 36 (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x + 3) (25 x^{2} - 36) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 36) = 0$

Étape 2.4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 6^{2}) = 0$

Étape 2.5

Factorisez.

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Étape 2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 x$ et $b = 6$ .

$(x + 3) ((5 x + 6) (5 x - 6)) = 0$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$5 x + 6 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5

Définissez $5 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $5 x + 6$ égal à $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $5 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 6$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6}{5}$

Étape 6

Définissez $5 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $5 x - 6$ égal à $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $5 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 6$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 6$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 6$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$ vraie.

$x = - 3, - \frac{6}{5}, \frac{6}{5}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$

$x > \frac{6}{5}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$25 {(- 6)}^{3} + 75 {(- 6)}^{2} - 36 \cdot - 6 - 108 > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 2592$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$25 {(- 2)}^{3} + 75 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 108 > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $64$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$25 {(0)}^{3} + 75 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 - 108 > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 108$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{6}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{6}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$25 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2} - 36 \cdot 4 - 108 > 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $2548$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Vrai

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Faux

$x > \frac{6}{5}$ Vrai

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ Vrai

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ Faux

$x > \frac{6}{5}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ ou $x > \frac{6}{5}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, - \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}, \infty)$

Étape 12